一些高中数学的习题与技巧

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本篇目标群体:必修一没学好的比如考不及格

首先,我准备把之前遇到的一些基础但重要的高中数学题或者是一些有趣的题记下,这些题目不会特别多,只是用来暂存 ***

必修一

必修一的结构的认为是分为三个部分,前两章的运算和逻辑基础,最重要的第三章的关于数学中的一个重要概念函数的知识其实我觉得可以增加关于反函数的部分,不过可能考虑到不同地区的差异,这部分最后还是让老师自己把握了,以及最后的指对三角函数。其中第二部分是kernel,它是最重要的,第三部分的题目很多建立在这一章的基础上融合而来

one

你要掌握啥重要的知识呢,包括但不限于,课本上的基础知识(建议查看自己的笔记,从集合的基本概念,集合间的基本关系,集合的运算来回想,再对比笔记),充分必要条件(做题时注意它和子集的关系)以及全称与存在量词。再就是计算部分,第二章的不等式,基本不等式,二次方程函数以及不等式.

做题时候注意几个常考的点,分别是求参问题,基本不等式中1的用法,三个二次的转化尤其是二次相关的恒成立问题,这些应该是最常出现的,其他的一些思想和技巧,比如转化分类讨论等思想,分离参数常数的技巧等则需要自己遇到了再做总结

参数相关

解含有参数的问题也算是一个最常见的出题方式了,我讲两个


  1. 设 $U=R$,已知集合 $A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1\le x ≤ 2m-1}$. 问若$条件p:x\in A $是 $条件q:x\in B$的必要不充分条件,求实数m的取值范围

分析:这个题目应该是是最常见的一种了,参数类的问题最终目标是要去解出这个参数的某个性质比如这里的解出m的范围,解题的时候我们应该把m当作一个已知的量再带入某个条件中,这是常见的处理方法。

solution 我们假定m已知,根据必要不充分的条件,可以列出不等式组,但是我们需要先分析B的集合是否为空集,因为空集可以是任何集合的子集,所以接下来的分析是这样的

  1. B为空集时,\(m+1\ge 2m-1 \rightarrow m\le 2\)
  2. B非空时, \(\begin{cases} m+1\le 2m-1\\ m+1\ge -2\\ 2m-1\le 5\\ \end{cases}\) 解出得$2\le m \le 3$

解完

two

基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab} $ 是一个最常见的不等式了,他的证明方法多达上百种,数量之多应该是仅次于勾股定理的了,详情可以去美国数学月刊上看

我们这里说一种比较常见的直接考法也就是利用1的关系,还有其他的就大家自己在做题的过程中多看多想多记(其实考察的时候更多的还是基本形式,关注是否满足一正二定三相等的条件)