一些拓扑问题随笔

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看到的一些有趣的问题与思考,摘录下来


问题1. 证明:任意连续映射 $f:\mathbb{RP}^{2n}\to\mathbb{RP}^{2n}$,均有不动点。


Proof:我们先证明:对任意$f:S^{2n}\to S^{2n}$,一定存在 $x\in S^{2n}$,使得$f(x)=x$或$f(x)=-x$至少有一者成立。事实上,我们有

  • 若对任意$x\in S^{2n}$,$f(x)\ne x$,从而我们考虑同伦映射$H_1:S^{2n}\times I\to S^{2n}$​, \(\begin{equation} H_1(x,t)=\dfrac{(1-t)f(x)-tx}{|(1-t)f(x)-tx|}, \end{equation}\) 首先这个映射良定,因为若分母为 $0$,则有$(1-t)f(x)=tx$,同时取模长可知$t=\dfrac{1}{2}$,也即 $f(x)=x$,矛盾!因此$H_1$给出了$f$与对径映射$-\mathrm{id}$的同伦,故可知$\deg f=-1$。

  • 若对任意$x\in S^{2n}$,$f(x)\ne -x$,从而我们考虑同伦映射$H_2:S^{2n}\times I\to S^{2n}$​, \(H_2(x,t)=\dfrac{(1-t)f(x)+tx}{|(1-t)f(x)+tx|},\) 从而同理我们可知这给出了$f$与$\mathrm{id}$的同伦映射,故可知 $\deg f=1$。

综上可知矛盾!断言成立。现在我们回到原题,对于$f:\mathbb{RP}^{2n}\to\mathbb{RP}^{2n}$,可以自然看成 $S^{2n}$上的自映射,由上述断言不难立刻得到$f$有不动点。$\Box$

$\clubsuit$ $\textbf{注:}$这个命题对 $\mathbb{RP}^{2n-1}$并不成立,因为可以考虑 $\mathbb{R}^{2n}$​上的线性映射 \(\mathrm{diag}\left\{\begin{pmatrix} 0& 1\\ -1 &0 \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 0& 1\\ -1 &0 \end{pmatrix}\right\}\) 所诱导的映射,由于没有实特征向量,从而诱导的映射没有不动点。